2017重庆中考填空压轴(画板解析)

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（2017·重庆填空倒一）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是__________．

【图文解析】

       法1：由正方形启发想到建立平面直角坐标系来解决问题

【基本思路】

【建系，求出E，F，M三点坐标，分别求出EF，FM，EM长度即可】.

① 先建系：

在这里我们可以一口气求出直线DF，直线AC的解析式：DF：y= －2x+4；AC：y=x；从而点G的坐标为(4/3，4/3). 

       接着利用正方形对角线的性质以及EF⊥ED的条件，∴EK=AK=DT可以构造出如上图的△EDT≌△FEK，设E（a，a），则由FK=TE，可得a-2=4-a，∴E（3,3）.

       从而∠2=∠3=45°，再由翻折，可以发现另一组一线三等角全等：△GTF≌△FJM，∴GT=FJ=4/3，TF=MJ=2/3，

∴M（10/3，2/3），则可以求出直线DM：y= -x+4，EF：y=3x-6，从而求得N（5/2，3/2），再由E，M，N坐标以及勾股定理就可以得到:

       【反思1】建系解法在处理本题时有奇效，其本质原因在于正方形与对角线有关的折叠问题中容易出现等腰直角三角形。

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       法2：纯几何法，利用相似勾股分别求出三条线段的长度：

       与解析法相同的是，依然可以证明△EDT≌△FEK，则AK=EK=DT.

由∠DAF=∠DEF=90°，从而A，D，E，F四点共圆，∴∠2=∠4=∠3=∠1=45°，∠GFM=90°∴△DGE∽△ADE，

而GF=FM，∴DF=3FM，从tan∠FDM=1/3，tan∠ADF=1/2，这里利用等积法可以证明∠ADM=45°，（这里请读者们先自行思考如何构图证明，再看反思）∴△DAF∽△DEN，

【反思】笔者的这种纯几何法与网上的别的做法的关键区别在于利用等积法判断出∠AND=45°，这样可以极大地减少运算量，当然这要建立在对角度问题的熟知的基础上，这里给读者们一个简单的证明45°的构图思路：

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